単一の式 $f(x) = 0$ から多変数系に移行することは、軌道力学から土壌構造解析まで複雑な工学問題を解くための鍵となります。直線上の単純なゼロ点ではなく、$n$ 次元空間における $n$ 個の超曲面が同時に交差する点を探します。
1. 数学的構造
非線形連立方程式は、各成分関数が未知数のベクトル $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^t$ に依存する方程式の集合として表されます：
$$f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$\vdots$$ $$f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$
これらをベクトル形式の「核心公式」に簡略化します：
$$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$$
ここで $\mathbf{F} = (f_1, f_2, \dots, f_n)^t$ です。個々の関数 $f_i$ は $\mathbf{F}$ の 座標関数 $\mathbf{F}$ の座標関数と呼ばれます。
2. 解析的基礎と連続性
これらのシステムを数値的に解くには、写像が適切に振る舞うことを確認する必要があります。定義 10.1～10.3 は、$\mathbb{R}^n$ における極限と連続性が 成分ごとに決定されることを確立しています。
関数 $\mathbf{F}$ が $D \subset \mathbb{R}^n$ から $\mathbb{R}^n$ への写像であるとします。$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{L} = (L_1, L_2, \dots, L_n)^t$ であるとは、かつそのときに限り、
$$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f_i(\mathbf{x}) = L_i$$（$i = 1, \dots, n$ すべてについて）であるときを意味します。
$\epsilon$-$\delta$ 定義を利用すると、任意の $\epsilon > 0$ に対して、$0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta$ となるすべての $\mathbf{x}$ について $\|\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{L}\| < \epsilon$ となるような $\delta > 0$ が存在します。
3. 理論の復習
定理 1.6： 実数から実数への関数では、連続性は微分可能性を示すことでしばしば証明できます。多変数の場合、座標関数の偏微分が存在し、かつ有界であれば、連続性が保証され、これは反復法の収束のために必須の条件です。
代表的な例題：例題 1
土壌上の円板の問題を考えます。$3 \times 3$ の非線形連立方程式を標準形 $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ に置き換えます：
- $3x_1 - \cos(x_2 x_3) - \frac{1}{2} = 0$
- $x_1^2 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin x_3 + 1.06 = 0$
- $e^{-x_1 x_2} + 20x_3 + \frac{10\pi - 3}{3} = 0$
ここでは、$\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^t$ および $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), f_3(\mathbf{x}))^t$ です。